Componente conexa

Componentes conexas

Sea $(X, T)$ un espacio topológico. Definimos la siguiente relación de equivalencia en $X$ :
$x \sim y$ si están contenidos en un subespacio conexo de X. Las clases de equivalencia se llaman componentes conexas de $X$ .

Propiedades

Las componentes conexas de $X$ forman una partición de $X$ en subespacios conexos maximales y cualquier subespacio conexo de $X$ está totalmente contenido en una componente conexa.
$X$ es conexo si, y sólo si, tiene una única componente conexa.
Las componentes conexas son subconjuntos cerrados. ^[1]
Las componentes conexas son invariantes por homeomorfismos.

Como consecuencia de Proposición 19 y la propiedad 1. Notar que si $X$ tiene un número finito de componentes, entonces cada una será también un abierto en $X$ , pues su complementario es una unión finita de cerrados. ↩︎